Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \)

Thì \(\overrightarrow {AG}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right),\overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AG}  = {{3\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c } \over 6}\)

Mặt khác : \(\overrightarrow {AG'}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AC'} } \right) = \overrightarrow a  + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CG'}  = \overrightarrow {AG'}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow c  \)

               \(= {{3\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c } \over 3}\)

Vậy \(\overrightarrow {CG'}  = 2\overrightarrow {GI} .\) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.