Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Câu hỏi và bài tập

Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Chứng minh rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D)

Đề bài

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Lời giải chi tiết

Giả sử M(x0, lnx0) ∈ (C) (x0 > 0 )

Ta có: \(y' = {1 \over x}\)

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

\(y = {1 \over {{x_0}}}(x - {x_o}) + \ln {x_0}\)

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:          

\(\eqalign{
& {1 \over {{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0} \ge \ln x \cr 
& \Leftrightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0 \cr} \) 

Đặt \(t = {x \over {{x_0}}} > 0\)

Xét hàm số \(g(t) = t – \ln t\) với t > 0

\(\eqalign{
& g' = 1 - {1 \over t} = {{t - 1} \over t} \cr 
& g' = 0 \Leftrightarrow y = t = 1 \cr} \) 

Bảng biến thiên

 

Từ bảng biến thiên ta có \(g(t) ≥ 1\) với mọi \(t \in (0, +∞)\)

\( \Rightarrow t - \ln t - 1 \ge 0 \Rightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0\) với mọi \(x > 0\)

Vậy trên \((0; +∞)\) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua