Câu 3 trang 126 SGK Hình học 11


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M là trung điểm của đoạn AB, E là giao điểm của hai cạnh của hình thang ABCD và G là trọng tâm của tam giác ECD.

Bài 3. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\) là đáy lớn. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\), \(E\) là giao điểm của hai cạnh của hình thang \(ABCD\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ECD\).

a) Chứng minh rằng bốn điểm \(S, E, M, G\) cùng thuộc một mặt phẳng \((α)\) và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) theo cùng một giao tuyến \(d\).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).

c) Lấy một điểm \(K\) trên đoạn \(SE\) và gọi \(C'= SC ∩KB, D'=SD ∩ KA\). Chứng minh rằng hai giao điểm của \(AC'\) và \(BD'\) thuộc đường thẳng \(d\) nói trên.

Giải

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(DB\); \(N\) là giao của \(EM\) và \(DC\).

\(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(N\) là trung điểm của \(DC\) (vì \(ABCD\) là hình thang),

Do đó \(EN\) là trung tuyến hay \(G\in EN\)

Vậy  ba điểm \(E, G, M\) thẳng hàng . Mặt phẳng \((\alpha)\) chính là mặt phẳng \((SEM)\)

\(O\in MN\) \(\Rightarrow O\in(\alpha)\) và \(O \in AC \subset (SAC)\) nên \(O\) là giao điểm của hai mặt phẳng \((\alpha)\) và  \((SAC)\)

\(\Rightarrow SO\) là giao tuyến của \((\alpha)\) và  \((SAC)\).

b) \(E = AD \cap BC \Rightarrow E \in AD \Rightarrow E \in (SAD)\)

                                       \(E ∈ BC ⇒ E ∈ (SBC)\)

Vậy \(E\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)

        \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và  \((SBC)\)

nên \(SE\) là giao tuyến của \((SAD)\) và  \((SBC)\)

c) \(C'= SC ∩ KB ⇒ C' ∈ SC ⇒ C' ∈ (SAC)\)

                                                  \(⇒ AC' ∈ (SAC)\)

Tương tự ta có: \(BD' ∈ (SDB)\)

Hai đường thẳng \(AC’\) và \(BD’\) cùng thuộc mặt phẳng \((ABK)\) chúng giao nhau tại điểm \(M\)

\(M ∈ AC’ ⇒ M ∈ (SAC)\)

\(M ∈ BD’ ⇒ M ∈ (SDB)\)

\(⇒ M\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và  \((SDB)\) hay \(M ∈ d\)

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu