Bài tập 2 - Trang 100-101-SGK Giải tích 12


Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

2.Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) f(x) = \(\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\)       ;                             b) f(x) = \(\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\)

c) f(x) = \(\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\)       ;                            d) f(x) = sin5x.cos3x

e) f(x) = tan2x

g) f(x) = e3-2x

h) f(x) =\(\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện x>0. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

f(x) = \(\frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}\) = \(x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\) = \(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\)

∫f(x)dx = ∫(\(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\))dx = \(\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\) +C

b) Ta có f(x) = \(\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\) = \((\frac{2}{e})^{x}\)-e-x

 ; do đó nguyên hàm của f(x) là:

F(x)= \(\frac{(\frac{2}{e})^{x}}{ln\frac{2}{e}} + e^{-x}+C\) =\(\frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 -1)}+\frac{1}{e^{x}}+C\)= \(\frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}(ln2-1)}\) + C

c) Ta có f(x) = \(\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}=\frac{4}{sin^{2}2x}\)

hoặc f(x) = \(\frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sin^{2}x}\)

Do đó nguyên hàm của f(x) là F(x)= -2cot2x + C

d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:

 f(x) =sin5xcos3x = \(\frac{1}{2}\)(sin8x +sin2x).

Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = -\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{4}\)cos8x + cos2x) +C

e) ta có  \(tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}-1\)

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = tanx - x + C

g) Ta có  ∫e3-2xdx= -\(\frac{1}{2}\)∫e3-2xd(3-2x)= -\(\frac{1}{2}\)e3-2x +C

h) Ta có :\(\int \frac{dx}{(1+x)(1-2x))}=\frac{1}{3}\int (\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x})dx\)

                = \(\frac{1}{3}(ln\left | 1+x \right |)-ln\left | 1-2x \right |)\) = \(\frac{1}{3}ln\left | \frac{1+x}{1-2x} \right | +C\)

Đã có lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..