Bài tập 10 - Trang 81 - SGK Hình học 12.


10. Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

10. Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Hướng dẫn giải.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian sao cho A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0),

A'(0 ; 0 ; 1). Khi đó B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C'(1 ; 1 ; 1).

a) Mặt phẳng (AB'D') qua điểm A và nhận vevtơ    làm vectơ pháp tuyến. Ta có  = (1 ; 0 ; 1),  = (0 ; 1 ; 1)  và  = (-1 ; -1 ; 1).

Phương trình mặt phẳng (AB'D') có dạng:

                                        x + y - z = 0.                                               (1)

Tương tự, mặt phẳng (BC'D) qua điểm B nhận vectơ  làm vectơ pháp tuyến.

Ta có  = (-1 ; 1 ; 0),  = (0 ; 1 ; 1) và  = (1 ; 1 ; -1).

Phương trình mặt phẳng (BC'D) có dạng:

                                      x + y - z - 1 = 0.                                           (2)

So sánh hai phương trình  (1) và (2), ta thấy hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.

Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:

Xét hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D), ta có BD // B'D' vì BB'D'D là hình chữ nhật, AD' // BC' vì ABC'D' là hình chữ nhật.

Do đó mặt phẳng (AB'D') có hai đường thẳng cắt nhau B'D' và AD' lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau BD và BC' của mặt phẳng (BC'D). Vì vậy (AB'D') // (BC'D) (hình 56).

b) Vì (AB'D') // (BC'D) nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BC'D) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có:

             .

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2017 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học.

Bài viết liên quan