Bài 9 trang 70 sgk toán 9 - tập 1


Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L.

Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

a) \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

\(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)

\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) cùng phụ với \(\widehat{CDI}\)

Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)

Suy ra \(DI=DL\). Vậy \(\Delta DIL\) cân

b) Áp dụng hệ thức \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\) ta có \(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\)

Do đó \(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\)

Do DC không đổi nên \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.

>>>>> Bí kíp học tốt các môn lớp 9 2017 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu