Bài 9 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1


Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L.

Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

a) \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

\(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)

\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) cùng phụ với \(\widehat{CDI}\)

Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)

Suy ra \(DI=DL\). Vậy \(\Delta DIL\) cân

b) Áp dụng hệ thức \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\) ta có \(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\)

Do đó \(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\)

Do DC không đổi nên \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.

Loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>>>> Học tốt lớp 9 luyện thi vào 10 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa năm 2018 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu