Bài 9 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Bình chọn:
3.3 trên 4 phiếu

Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng

Bài 9. Cho tam giác \(ABC\) với ba đường trung tuyến \(AD, BE, CF\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF}  = 0\).

Hướng dẫn trả lời

 

Ta có \(\overrightarrow {AD}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr
& \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr} \)

Do đó  \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \)

\(\eqalign{
& = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {AB} (\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} )\cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} ) = 0 \cr} \)

(điều phải chứng minh)

loigiaihay.com

Các bài liên quan