Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10


Bài 9. Chứng minh rằng

Bài 9. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD  và BC trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{AI}\) + \(\overrightarrow{IB}\);

                                                            \(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{CI}\)+ \(\overrightarrow{ID}\)

Vì \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI}\) + \(\overrightarrow{IB}\) =  \(\overrightarrow{CI}\)+ \(\overrightarrow{ID}\)

                          => \(\overrightarrow{AI}\) - \(\overrightarrow{ID}\) = \(\overrightarrow{CI}\) - \(\overrightarrow{IB}\)

                          => \(\overrightarrow{AI}\) + \(\overrightarrow{DI}\) = \(\overrightarrow{CI}\) + \(\overrightarrow{BI}\)              (1)

Vì I là trung điểm của AD nên  \(\overrightarrow{AI}\) + \(\overrightarrow{DI}\) = \(\overrightarrow{0}\)               (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI}\) + \(\overrightarrow{BI}\) = \(\overrightarrow{0}\)                               (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b) AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).

I là trung điểm của AD    =>  \(\overrightarrow{AI}\) + \(\overrightarrow{DI}\) = \(\overrightarrow{0}\)   => \(\overrightarrow{AI}\) - \(\overrightarrow{ID}\) =\(\overrightarrow{0}\)

I là trung điểm của BC    => \(\overrightarrow{CI}\) + \(\overrightarrow{BI}\) = \(\overrightarrow{0}\)    =>  \(\overrightarrow{CI}\) - \(\overrightarrow{IB}\)= \(\overrightarrow{0}\)

Suy ra  \(\overrightarrow{AI}\) - \(\overrightarrow{ID}\) =  \(\overrightarrow{CI}\) - \(\overrightarrow{IB}\) 

         => \(\overrightarrow{AI}\) + \(\overrightarrow{IB}\) = \(\overrightarrow{CI}\) + \(\overrightarrow{ID}\)    =>  \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\)(đpcm)

>>>>> Học tốt lớp 11 các môn Toán, Lý, Anh, Hóa năm 2018 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu