Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10


Bài 9. Chứng minh rằng

Bài 9. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\)  và \(BC\) trùng nhau.

Giải

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) thì \(AD\) và \(BC\) có trung điểm trùng nhau. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) ta chứng minh \(I\) cũng là trung điểm của \(BC\).

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 

     \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\);

      \(\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)

Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}=  \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)

                           \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}\)

                           \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\)              (1)

Vì \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên  \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\)                             (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ \(I\) là trung điểm của \(BC\).

b) \(AD\) và \(BC\)  có chung trung điểm \(I\), ta chứng minh \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).

\(I\) là trung điểm của \(AD\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\)   \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}\)

\(I\) là trung điểm của \(BC\)  \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}\)    \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}\)

Suy ra  \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}=  \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}\) 

     \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)    \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) (đpcm)

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 10 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 10, mọi lúc, mọi nơi cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu