Bài 89 trang 111 sgk toán 8 tập 1

Bình chọn:
4.5 trên 23 phiếu

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D.

Bài 89. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB, E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D\).

a)Chứng minh rằng điểm \(E\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(AB\).

b)Các tứ giác \(AEMC, AEBM\) là hình gì? Vì sao?

c)Cho \(BC = 4cm\), tính chu vi tứ giác \(AEBM\).

d)Tam giác vuông \(ABC\), có điều kiện gì thì \(AEBM\) là hình vuông?

Giải

 

a) Ta có \(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) ),

\(BD = DA\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) )

nên \(MD\) là đường trung bình của \(∆ABC\)

Do đó \(MD // AC\)

Do \(AC ⊥ AB\) nên \(MD ⊥ AB\)

Ta có \(AB\) là đường trung trực của \(ME\) (do \(AB ⊥ ME\) tại \(D\) và \(DE = DM\)) nên \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\).

b)

+) Ta có: \(EM // AC\) (do \(MD // AC\))

\(EM = AC\) (cùng bằng \(2DM\))

Nên \(AEMC\)  (là hình bình hành)

+) Tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình bình hành \(AEBM\) có \(AB ⊥ EM\) nên là hình thoi.

c)Ta có \(BC = 4 cm \Rightarrow BM = 2 cm\).

Chu vi hình thoi \(AEBM\) bằng \(4.BM = 4. 2 = 8(cm)\)

d)Cách 1 :

Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔ AB = EM ⇔ AB = AC\)

Vậy nếu \(ABC\) vuông có thêm điều kiện \(AB = AC\) (tức là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)) thì \(AEBM\) là hình vuông.

Cách 2 :

Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔AM ⊥ BM\)

\(⇔ABC\) có trung tuyến \(AM\) là đường cao

\(⇔∆ABC\) cân tại \(A\).

Vậy nếu \(∆ABC\) vuông có thêm điều kiện cân tại \(A\) thì \(AEBM\) là hình vuông.

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 8 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan