Bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

Giải bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12. Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Đề bài

Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) và \(y = 2(1-x)\)

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục \(Ox\). Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số \(y=f(x);\) \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, (a<b)\) có diện tích được tính bởi công thức:  \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\(\eqalign{
& 2\sqrt {1 - {x^2}} = 2(1 - x) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 - x \ge 0 \hfill \cr 
1 - {x^2} = {(1 - x)^2} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr 
2{x^2} - 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr 
\left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) là một nửa elip \({x^2} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) với \(y ≥ 0.\)

                                                     

Từ đồ thị trên ta có, diện tích của D:

\(\eqalign{
& S = \int_0^1 {\left[ {2\sqrt {1 - {x^2}} - 2(1 - x)} \right]} dx \cr
& = 2\left[ {\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx - \int_0^1 {(1 - x)dx} } } \right] \cr} \)

Tính \(\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx\) :

Đặt \(x = sin t\) , ta có: \(dx = cost dt\); \(x=0 \Rightarrow t= 0\); \(x=1 \Rightarrow t={\pi  \over 2}\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx = \int_0^{{\pi \over 2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} } .costdt \cr
& = \int_0^{{\pi \over 2}} {{\mathop{\rm cost}\nolimits} .costdt = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}tdt} } \cr
& = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {(1 + \cos 2t)dt = {1 \over 2}} \left[ {t + {1 \over 2}\sin 2t} \right]\left| {_0^{{\pi \over 2}}} \right. = {\pi \over 4} \cr
& \int_0^1 {(1 - x)dx = (x - {{{x^2}} \over 2})\left| {_0^1} \right.} = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow D = 2({\pi \over 4} - {1 \over 2}) = {\pi \over 2}-1 \cr} \)

b) Dựa vào hình trêm ta có thể tích cần tìm là:

\(\eqalign{
& V = 4\pi \int_0^1 {\left[ {(1 - {x^2}) - (1 - {x})^2} \right]} dx \cr
& = 8\pi \int_0^1 {(x - {x^2}} )dx = 8\pi\left( {{{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}} \right)\left| {_0^1} \right. \cr
& = 8\pi ({1 \over 2} - {1 \over 3}) = {{4\pi } \over 3} \, \, (đvdt). \cr} \)

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan