Bài 6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11

Bình chọn:
4.8 trên 14 phiếu

Chứng minh rằng:

Bài 6. Chứng minh rằng:
a) \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\);

b) \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\);

c) \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.

Bài giải:

a) \({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\)

\(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\)

            \(= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} +  \ldots  + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).

b) Ta có

\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)

                  \(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... + \)

                  \(C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)

                     \( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(10 000\) suy ra \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).

c) \({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \)

\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(= 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... - C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}}\)

\(+ {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\)=

\( 2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]\)

\(= 2\left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right)\)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu



Các bài liên quan