Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11


6. Chứng minh rằng các hàm số sau

6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;

b) cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) + cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) +  cos2\( \left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) + cos2 \( \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )\) -2sin2x.

Lời giải:

a) Cách 1: Ta có:

y' = 6sin5x.cosx - 6cos5x.sinx + 6sinx.cos3x - 6sin3x.cosx =  6sin3x.cosx(sin2x - 1) + 6sinx.cos3x(1 - cos2x) = - 6sin3x.cos3x + 6sin3x.cos3x = 0.

Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.

    Cách 2: 

y =  sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) =  sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 = 1

Do đó, y' = 0.

b) Cách 1:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

(cos2u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u

Ta được

y' =[sin\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) - sin\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\)] + [sin\( \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right )\) - sin\( \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )\)] - 2sin2x = 2cos\( \frac{2\pi }{3}\).sin(-2x) + 2cos\( \frac{4\pi }{3}\).sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

vì cos\( \frac{2\pi }{3}\) = cos\( \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.

   Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

 cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) = cos2\( \left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\)  '

cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) =  cos2 \( \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )\).

Do đó

 y = 2 cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) + 2cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) - 2sin2x = 1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) + 1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\) - (1 - cos2x) =  1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) + cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\) + cos2x = 1 + 2cos\( \frac{2\pi }{3}\).cos(-2x) + cos2x = 1 + 2\( \left ( \frac{-1}{2} \right )\)cos2x  + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.

Đã có lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>>>> Học tốt lớp 11 các môn Toán, Lý, Anh, Hóa năm 2018 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu