Bài 5 trang 92 sgk toán 11


Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) \(u_n= 2n^2-1\);                     b) \( u_n=\frac{1}{n(n+2)}\)

c) \(u_n= \frac{1}{2n^{2}-1}\);                        d) \(u_n= sinn + cosn\)
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số bị chặn dưới vì \(u_n= 2n^2-1≥ 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)  và không bị chặn trên vì với số \(M\) dương lớn bất kì, ta có \(2n^2-1 > M \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{M+1}{2}}\).
tức là luôn tồn tại \( n ≥   \left [ \sqrt{\frac{M+1}{2}} \right ] + 1\) để  \(2 n^{2}- 1 > M\)
b) Dễ thấy \(u_n > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)  
Mặt khác, vì \(n ≥ 1\) nên \(n^2≥ 1\) và \(2n ≥ 2\).
Do đó \(n(n + 2) =  n^2+ 2n ≥ 3\), suy ra \( \frac{1}{n(n+2)}\) \( \leq \frac{1}{3}\).
Vậy dãy số bị chặn \(0 < u_n\) \(\leq \frac{1}{3}\) với mọi  \(n \in {\mathbb N}^*\)  
c) Vì \(n ≥ 1\) nên \(2n^2- 1 > 0\), suy ra \( \frac{1}{2n^{2}-1} > 0\)
Mặt khác \(n^2 ≥ 1\) nên \(2n^2≥ 2\) hay \(2n^2- 1≥ 1\), suy ra \( u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1} ≤ 1\). 
Vậy \(0 < u_n ≤ 1\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\), tức dãy số bị chặn.
d) Ta có: \(sinn + cosn = \sqrt 2sin(n +  \frac{\pi }{4})\), với mọi \(n\). Do đó:
\(-\sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt2\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
Vậy \(-\sqrt 2  < u_n< \sqrt 2\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\).
 
loigiaihay.com
 

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu