Bài 5 trang 29 sgk giải tích 11


Bài 5. Giải các phương trình sau:

Bài 5. Giải các phương trình sau:   

a) \( tan (x - 150) = \frac{\sqrt{3}}{3}\);

b) \( cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\); 

c) \( cos 2x . tan x = 0\);

d) \( sin 3x . cot x = 0\).

Giải

a)

Điều kiện \(x - 15^0\neq 90^0+k180^0\) hay \(x\neq 105^0+k.180^0.\)

\(tan (x - 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0\), với điều kiện:

Ta có phương trình \(tan (x - 15^0) = tan30^0\)

\(\Leftrightarrow x - 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\)

\(\Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\)

b)

\(cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\), với điều kiện \(3x-1\neq k\pi (k\in \mathbb{Z})\) hay \(x\neq \frac{1+k \pi}{3}(k\in \mathbb{Z})\)

Ta có phương trình \(cot (3x - 1) = cot(-\frac{\pi }{6})\)

 \(\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\)

c)

\(cos2x.tanx=0 \Leftrightarrow \cos 2x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\), với điều kiện \(cosx\neq 0\)

\(\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\), ta có phương trình: \(cos2x . sinx = 0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=0\\ sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}\\ x=k \pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})\) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})\) hoặc \(x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\)

d)

\(sin 3x . cot x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0\), với điều kiện \(sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k.\pi (k\in \mathbb{Z})\)

Ta có phương trình \(sin3x.cos = 0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sin3x=0\\ cosx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 3x=k\pi\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k \pi}{3}\\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}(k \in \mathbb{Z})\)

So sánh với điều kiện ta thấy khi \(k = 3m,m \in \mathbb{Z}\) thì \(x = m\pi  \Rightarrow \sin x = 0\) không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\frac{k \pi}{3}\) và \(x=\frac{\pi }{2}+k \pi (k \neq 3m, m\in \mathbb{Z})\)

Loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu