Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12


5. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.Tính thể tích của khối tròn xoay.

Bài 5. Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt  \(\widehat {POM} = \alpha \)

và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha  \le {\pi  \over 3},R > 0} \right)\)

Gọi   là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).

a) Tính thể tích của  theo \(α\) và \(R\).      

b) Tìm \(α\) sao cho thể tích  là lớn nhất.  

  

Hướng dẫn giải :

a) Hoành độ điểm \(P\) là : 

\(x_p=  OP = OM. cos α = R.cosα\)

Phương trình đường thẳng \(OM\) là \(y =  tanα.x\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay là:

\(V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{{\tan }^2}\alpha {{{x^3}} \over 3}\left| {_0^{R\cos \alpha } = {{\pi .{R^3}} \over 3}(\cos \alpha  - {{\cos }^3}} \right.} \alpha )\)

b) Đặt \(t = cosα \Rightarrow t ∈ \left[ {{1 \over 2};1} \right]\). \(\left( \text{ vì }{\alpha  \in \left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]} \right)\),  \(α = arccos t\).

Ta có :

\(\eqalign{
& V = {{\pi {R^3}} \over 3}(t - {t^3});V' = {{\pi {R^3}} \over 3}(1 - 3{t^2}) \cr
& V' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{\sqrt 3 } \over 3} \hfill \cr
t = {{ - \sqrt 3 } \over 3}\text{ (loại)} \hfill \cr} \right. \cr} \)

 Từ đó suy ra \(V\) lớn nhất bằng \({{2\sqrt 3 \pi R^3} \over 27}\) \(\Leftrightarrow t = {{\sqrt 3 } \over 3} \Leftrightarrow \alpha  = \arccos {{\sqrt 3 } \over 3}\)

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu