Bài 4 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bình chọn:
3.7 trên 3 phiếu

Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao của tam giác đó. a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu? b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

Bài 4. Cho hình nón \((N)\) sinh bởi tam giác đều cạnh \(a\) khi quay quanh một đường cao của tam giác đó.

a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón \((N)\) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

b) Một khối cầu có thể tích của khối nón \((N)\) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

Giải


Hình nón \((N)\) có bán kính đáy \(r = BH = {1 \over 2}a\), chiều cao \(h = AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\) và đường sinh \(l = AB = a\).

Diện tích toàn phần

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi {{{a^2}} \over 2} + \pi {{{a^2}} \over 4} = {3 \over 4}\pi {a^2}\)
Thể tích \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 3 } \over {24}}\pi {a^3}\)

a) Nếu mặt cầu có bán kính \(R\) thì diện tích bằng \(4\pi {R^2}\) nên \(4\pi {R^2} = {3 \over 4}\pi {a^2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 3 } \over 4}\)

b) Nếu khối cầu có bán kính \(R\) thì thể tích bằng \({4 \over 3}\pi {R^3}\) nên \({4 \over 3}\pi {R^3} = {{\sqrt 3 } \over {24}}\pi {a^3} \Rightarrow R = {{\root 6 \of {12} } \over 4}a\)

loigiaihay.com

Các bài liên quan