Bài 4 trang 17 sgk giải tích 11


Bài 4. Chứng minh rằng

Bài 4. Chứng minh rằng \(sin2(x + kπ) = sin 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y = sin2x\).

Đáp án :

Do \(sin (t + k2π)\) = \(sint\), \(\forall k \in Z\) (tính tuần hoàn của hàm số f\((t) = sint)\), từ đó

\(sin(2π + k2π) = sin2x \Rightarrow sin2(tx+ kπ) = sin2x\), \(∀k ∈ Z\).

Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số \(y = sin2x\), chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài \(π\) (đoạn \(\left[ { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right]\) Chẳng hạn), rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài \(π\) .

Với mỗi \(x_0 \in\) \(\left[ { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right]\) thì \(x = 2x_0\in [-π ; π]\), điểm \(M(x ; y = sinx)\) thuộc đoạn đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = sinx\), \((x ∈ [-π ; π])\) và điểm \(M’(x_0 ; y_0 = sin2x_0)\) thuộc đoạn đồ thị \((C’)\) của hàm số \(y = sin2x\), ( \(x ∈\) \(\left[ { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right]\)) (h.5).

Chú ý rằng, \(x = 2x_0 \Rightarrow sinx = sin2x_0\) do đó hai điểm \(M’\) , \(M\) có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của \(M’\) bằng một nửa hoành độ của \(M\). Từ đó ta thấy có thể suy ra \((C’)\) từ \((C)\) bằng cách “co” \((C)\) dọc theo trục hoành như sau :

- Với mỗi \(M(x ; y) ∈ (C)\) , gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống trục \(Oy\) và \(M’\) là trung điểm của đoạn \(HM\) thì \(M’\) \(\left( {{x \over 2};y} \right)\) \(∈ (C’)\) (khi \(M\) vạch trên \((C)\) thì \(M’\) vạch trên \((C’))\). Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của \((C’)\) (các điểm \(M’\) ứng với các điểm \(M\) của \((C)\) với hoành độ \(\in \left\{ {0;\,\, \pm {\pi  \over 6};\,\, \pm {\pi  \over 4};\,\, \pm {\pi  \over 3};\,\, \pm {\pi  \over 2}} \right\}\) ).

Loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu