Bài 4 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11


4. Chứng minh rằng hàm số

Bài 4. Chứng minh rằng hàm số 

\(f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\)

không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).

Giải:

Ta có \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x) = \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} (x – 1)^2= 1\) và \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x) = \)\(\mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} (-x^2) = 0\).

vì \(\mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x) ≠ \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\) nên hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\), do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).

Ta có \(\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (2 + ∆x) = 2\).

Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu