Bài 3 trang 92 sgk toán 11


Bài số 3 sách toán lớp 11 trang 92: Viết 5 số hạng đầu của dãy số, dự đoán công thức tổng quát.

Bài 3. Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}\).

b) Ta có:  \(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{(1 + 8)}\)

                \( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{(2 + 8)}\)

                 \(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{(3 + 8)}\)

                 \(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{(4 + 8)}\)

                   ...........

Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{(n + 8)}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\)   (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có  \(u_k = \sqrt{(k + 8)}\) với \(k ≥ 1\).

Theo công thức dãy số, ta có:

\(u_{k+1}\)=  \( \sqrt{1+u^{2}_{k}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}=\sqrt{(k+1)+8}\).

Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy công thức (1) được chứng minh.

loigiaihay.com

 

     

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu