Bài 3 trang 7 sgk hình học lớp 10


Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi

Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\).

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh hai mệnh đề:

- Khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\) thì ABCD là hình bình hành.

Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:

           \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\)  ⇔ \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\)

                                     và  \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng.

 

\(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng => \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau, hay AB // DC                          (1)

Ta lại có  \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\)  => AB = DC   (2)

Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác ABCD có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

- Khi ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\)

  Khi ABCD là hình bình hành thì AB // CD. Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) cùng hướng                                          (3)

Mặt khác AB = CD => \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{CD} \right |\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 10 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 10, mọi lúc, mọi nơi cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu