Bài 3 trang 7 sgk hình học lớp 10


Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi

Bài 3. Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\).

Giải

Ta chứng minh hai mệnh đề:

*) Khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\) thì \(ABCD\) là hình bình hành.

Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:

\(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\)  ⇔ \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\) và \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng.

 \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng suy ra \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau,

hay \(AB // DC\)                          (1)

Ta lại có  \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\) suy ra \(AB = DC\)   (2)

Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

*) Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\)

  Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(AB // CD\). Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) cùng hướng     (3)

Mặt khác \(AB = CD\) suy ra \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{CD} \right |\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 10 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 10, mọi lúc, mọi nơi cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu