Bài 3 trang 39 sách giáo khoa hình học lớp 12


Bài 3. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.

Bài 3. Cho hình nón tròn xoay có đường cao \(h = 20 cm\), bán kính đáy \(r = 25 cm\).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(12 cm\). Tính diện tích thiết diện đó.

Giải:

a) Giả sử \(SA = l\) là độ dài đường sinh, \(SH = h\) là chiều cao hình nón.

Trong tam giác vuông \(SOA\) ta có:

\(\eqalign{
& S{A^2} = S{O^2} + O{A^2} = {h^2} + {r^2} = {20^2} + {25^2} = 1025 \cr
& \Rightarrow SA = \sqrt {1025} \cr}\) 

Diện tích xung quanh hình nón là:

\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .25\sqrt {1025}  \approx 2514,5\left( {c{m^2}} \right)\)

b) Thể tích khối nón là:

\(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {.25^2}.20 \approx 13083,3\left( {c{m^3}} \right)\)

c) Giả sử thiết diện \(SAB\) đi qua đỉnh \(S\) cắt đường tròn đáy tại \(A\) và \(B\). Gọi \(I\) là trung điểm của dây cung \(AB\). Từ tâm \(O\) của đáy vẽ \(OH\) vuông góc với \(SI\).

Ta có \(\left\{ \matrix{
AB \bot OI \hfill \cr 
AB \bot SO \hfill \cr} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\)

Từ đó \(\left\{ \matrix{
OH \bot AB \hfill \cr 
OH \bot SI \hfill \cr} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow OH = 12cm\)

Trong tam giác vuông \(SOI\) ta có: \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{I^2}}} + {1 \over {O{S^2}}}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {1 \over {O{I^2}}} = {1 \over {O{H^2}}} - {1 \over {O{S^2}}} \cr
& = {1 \over {{{12}^2}}} - {1 \over {{{20}^2}}} = {{256} \over {57600}} = {1 \over {225}} \cr
& \Rightarrow OI = 15cm \cr} \)

Xét tam giác vuông \(OAI\) ta có \(AI^2 = OA^2 – OI^2 = 25^2 – 15^2 = 20^2\)

Vậy \(AI = 20cm\)

Ta có: \(SI.OH = SO.OI \Rightarrow SI = {{SO.OI} \over {OH}} = {{20.15} \over {12}} = 15cm\)  

Vậy diện tích thiết diện \(SAB\) là: \({S_{SAB}} = {1 \over 2}SI.AB = {1\over2}25.20 = 250\left( {c{m^2}} \right)\)

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu