Bài 3 trang 179 SGK Đại số và giải tích 11

Bình chọn:
3 trên 7 phiếu

Giải các phương trình

Bài 3. Giải các phương trình

a) \(2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

b) \(3cos x + 4sin x = 5\)

c) \(sin x + cos x = 1 + sin x. cosx\)

d) \(\sqrt {1 - \cos x}  = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right]\)

e) \((cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx = 0\)

Trả lời:

a)

\(\eqalign{
& 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos 2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr 
\sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr 
\left[ \matrix{
{x \over 2} = {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr 
{x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr 
x = {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr 
x = {{5\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \cr} \)

 b) Ta có: 

\(\eqalign{
& 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr 
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr 
& \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1(\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5});(0 < \varphi < {\pi \over 2}) \cr 
& \Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1 \cr 
& \Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi (k \in\mathbb Z) \cr 
& \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi (k \in\mathbb Z)\cr} \)

c)

\(sin x + cosx = 1 + sinx. cosx\)

\(⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0\)

\(⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr 
sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr} \)

d) Điều kiện \(\sin x ≥ 0\). Khi đó:

\(\eqalign{
& \sqrt {1 - \cos x} = \sin x \cr 
& \Leftrightarrow 1\cos x = {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos x(cosx - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr 
\cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr 
x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)

 Vì \( x ∈ [π, 3π]\) và \(sinx ≥ 0\) nên ta chọn:

\(\eqalign{
& k = 2 \Rightarrow x = {{5\pi } \over 2} \cr 
& k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \cr} \)

 e)

\(\eqalign{
& (cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin x\cos {x \over 4} + \cos x\sin {x \over 4} + \cos x - 3({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin (x + {x \over 4}) + \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow \sin {{5x} \over 4} + \cos x = 3 \cr} \)

Vì \(\sin {{5x} \over 4} \le 1\) , \(cosx ≤ 1\) nên phương trình trên vô nghiệm.

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu



Các bài liên quan