# Bài 23 trang 201 SGK Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

## Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α

a) $$\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha }$$

b) $$2(si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha {\rm{ }}){\rm{ }}-{\rm{ }}3(co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }})$$

c) $${2 \over {\tan \alpha - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\,\,\,\,(\tan \alpha \ne 1)$$

Đáp án

a) Ta có:

\eqalign{ & \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} = \sqrt {{{(2 - {{\sin }^2}\alpha )}^2}} \cr & = 2 - {\sin ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,({\sin ^2}\alpha \le 1) \cr & \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4(1 - {{\cos }^2})} = \sqrt {{{(2 - {{\cos }^2}\alpha )}^2}} \cr & = 2 - {\cos ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,(co{s^2}\alpha \le1) \cr}

Vậy $$\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha }$$

$$= {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}1 = {\rm{ }}3$$

b) Ta có:

$$si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha$$

$$= {\rm{ }}(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha co{s^2}\alpha {\rm{ }}(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha )$$

$$= {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha$$

$$co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{(co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha )^2}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha$$

$$= {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha$$

Suy ra:

\eqalign{ & 2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right) - 3({\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha ) \cr & = 2 - 6{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha - 3(1 - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha ) \cr & = 2 - 3 = - 1 \cr}

c) Ta có:

\eqalign{ & {2 \over {\tan \alpha - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\,\,\,\, \cr&= {2 \over {{1 \over {\cot \alpha }} - 1}} + {{\cos \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}} \cr & = {{2\cot \alpha } \over {1 - \cot \alpha }} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}} = {{\cot \alpha - 1} \over {1 - \cot \alpha }} = - 1 \cr}

Loigiaihay.com

Các bài liên quan

Các bài khác cùng chuyên mục