Bài 2 trang 88 sgk đại số 10


Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm...

Bài 2. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Giải

a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)

Gọi \(D\) là điều kiện xác định của biểu thức vế trái \(D = [- 8; +∞)\). Vế trái dương với mọi \(x ∈ D\) trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi \(x ∈ D\). Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\)

Vế trái có \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\),

 \(\sqrt{5-4x+x^{2}}=\sqrt{1+(x-2)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\)

Suy ra: \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}\) + \(\sqrt{5-4x+x^{2}} ≥ 2, ∀ x ∈\mathbb R\)

Mệnh đề sai \(∀x ∈\mathbb R\).

Bất phương trình vô nghiệm.

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)

\(\eqalign{
& 1 + {x^2} < 7 + {x^2} \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \cr
& \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} < 0 \cr} \)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} > 1\) Vô nghiệm.

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 10 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 10, mọi lúc, mọi nơi cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu