Bài 2 trang 59 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) và ba điểm \(P, Q, R\) lần lượt trên ba cạnh \(AB, CD, BC\). Tìm giao điểm \(S\) của \(AD\) và mặt phẳng \((PQR)\) trong hai trường hợp sau đây.

a) \(PR\) song song với \(AC\)

b) \(PR\) cắt \(AC\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = PR\\\left( {ADC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = d\\AC//PR\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC//PR//d\).

Mà \(Q \in CD \subset \left( {ADC} \right)\) và \(Q \in \left( {PRQ} \right)\) nên \(Q \in d\) hay \(d\) là đường thẳng đi qua \(Q\) và song song \(AC\).

Trong \(\left( {ADC} \right)\), qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AD\) tại \(S\).

Vậy \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).

Cách khác:

Có thể sử dụng hệ quả sau: "Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó".

mp \((PQR)\) và mp \((ACD)\) lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(PR // AC\).

\( \Rightarrow \left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt\) là đường thẳng song song với \(AC\) và \(PR\).

Gọi \(Qt \cap AD = S\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}S = AD \cap \left( {PQR} \right).\).

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PR\) với \(AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = PR\\\left( {ADC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = d\\AC \cap PR = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC,PR,d\) đồng quy tại \(I\).

Trong \(\left( {ADC} \right)\), kéo dài \(IQ\) cắt \(AD\) tại \(S\).

Khi đó \(S \in AD\) và \(S \in \left( {PQR} \right)\) nên \(S = AD \cap \left( {PQR} \right)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 67 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.