Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12


Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

      a) y = x4 - 2x2 + 1 ;                                     b) y = sin2x – x ;

      c)y = sinx + cosx ;                                       d) y = x5 – x3 – 2x + 1.

Hướng dẫn giải:

a) y' =  4x3 – 4x = 4x(x2 - 1) ; y' = 0 ⇔ 4x(x2 - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = \(\pm\)1.

             y'' = 12x- 4 .

             y''(0) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = y(0) = 1.

             y''(\(\pm\)1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = \(\pm\)1, yct = y(\(\pm\)1) = 0.

        b) y' = 2cos2x - 1 ;
\(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .\)

 y'' = -4sin2x .

 \(y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x = \(\frac{\pi }{6}\)+ kπ, ycđ = sin(\(\frac{\pi }{3}\)+ k2π) - \(\frac{\pi }{6}\) - kπ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}\)- kπ , k ∈ Z.

\(y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x =\(-\frac{\pi }{6}\)+ kπ, yct = sin(\(-\frac{\pi }{3}\)+ k2π) + \(\frac{\pi }{6}\) - kπ =\(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}\) - kπ , k ∈ Z.

         c) y = sinx + cosx = \(\sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\);            y' = \(\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\) ;

 \(y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow\)\(x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .\)

\(y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).\) 

\(y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )=\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi\), đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+(2k+)\pi (k\in \mathbf{Z}).\)

         d) y' = 5x4 - 3x2 - 2 = (x2 - 1)(5x2 + 2) ; y' = 0 ⇔ x- 1 = 0 ⇔ x = ±1.

             y'' = 20x- 6x.

             y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yct = y(1) = -1.

             y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, ycđ = y(-1) = 3.

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..